母分散の比に対する検定

2つの正規母集団に対して、その母分散が等しいかどうかの検定のやり方を説明します。

2つの正規母集団(正規分布に従う母集団)があるとします。それぞれの母分散は[latex]\sigma_1^2[/latex]と[latex]\sigma_2^2[/latex]とします。

 

母分散に差があるかどうかを判定するための帰無仮説[latex]H_0[/latex](証明したいことの反対のこと)と、対立仮説[latex]H_1[/latex](証明したいこと)は次のように設定します。

[latex size=2]\displaystyle H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2[/latex](母分散は等しい)

[latex size=2]\displaystyle H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2[/latex](母分散は等しくない)

この2つの母集団から、それぞれm,n個の標本を取り出し、その標本分散がそれぞれ[latex]s_1^2[/latex]と[latex]s_2^2[/latex]とします。そして帰無仮説[latex]H_0[/latex]が正しいとすると、次の統計量

[latex size=2]\displaystyle F(m-1,n-1)=\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2}[/latex]

 

は、自由度が(m-1,n-1)のF分布に従うことが知られています。

実際に観測した標本から計算された標本分散[latex]s_1^2[/latex]と[latex]s_2^2[/latex]を用いて、p値を計算します。簡単のため[latex]s_1^2 > s_2^2[/latex]とします。(逆の場合は母集団1と母集団2を交換すればOKです。)

両側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p = 2 P(F>\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2})[/latex]

 

片側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p=P(F>\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2})[/latex]

 

となります。このp値(p-value)がはじめに設定した有意水準より小さければ帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されることになります。