母分散の比に対する検定

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2つの正規母集団に対して、その母分散が等しいかどうかの検定のやり方を説明します。

2つの正規母集団(正規分布に従う母集団)があるとします。それぞれの母分散は\sigma_1^2\sigma_2^2とします。

 

母分散に差があるかどうかを判定するための帰無仮説H_0(証明したいことの反対のこと)と、対立仮説H_1(証明したいこと)は次のように設定します。

\displaystyle H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2(母分散は等しい)

\displaystyle H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2(母分散は等しくない)

この2つの母集団から、それぞれm,n個の標本を取り出し、その標本分散がそれぞれs_1^2s_2^2とします。そして帰無仮説H_0が正しいとすると、次の統計量

\displaystyle F(m-1,n-1)=\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2}

 

は、自由度が(m-1,n-1)のF分布に従うことが知られています。

実際に観測した標本から計算された標本分散s_1^2s_2^2を用いて、p値を計算します。簡単のためs_1^2 > s_2^2とします。(逆の場合は母集団1と母集団2を交換すればOKです。)

両側検定の場合は、

\displaystyle p = 2 P(F>\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2})

 

片側検定の場合は、

\displaystyle p=P(F>\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2})

 

となります。このp値(p-value)がはじめに設定した有意水準より小さければ帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されることになります。

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