母平均に対する検定(母分散が未知の場合)

母平均[latex]\mu[/latex]、母分散[latex]\sigma^2[/latex]の正規分布と仮定する母集団から、標本を取り出すとします。母平均[latex]\mu[/latex]が未知で母分散[latex]\sigma^2[/latex]も未知の場合、母平均[latex]\mu[/latex]がある値[latex]\mu_0[/latex]から統計的に有意に外れていることをこの標本の情報から示したいとします。母分散[latex]\sigma^2[/latex]がわかっている場合は正規分布を使うことで検定することができましたが、母分散[latex]\sigma^2[/latex]が未知の場合はt分布を使うことになります。

この場合、帰無仮説[latex]H_0[/latex](証明したいことの反対のこと)と、対立仮説[latex]H_1[/latex](証明したいこと)は次のようになります。

[latex size=2]\displaystyle H_0: \mu = \mu_0[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle H_1: \mu \neq \mu_0[/latex]

 

帰無仮説[latex]H_0[/latex](証明したいことの反対のこと)を仮定して、母分散[latex]\sigma^2[/latex]が未知の場合は、標本平均[latex]\bar{X}[/latex]と標本分散[latex]s^2[/latex]から計算される次の統計量

[latex size=2]\displaystyle t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s\sqrt{n}}[/latex]

は自由度[latex]n-1[/latex]のスチューデントのt分布に従うことが知られています。(分散が未知の場合の標本平均の標本分布)ここで、[latex]n[/latex]は標本の数です。ここで、実際にサンプリングした標本を用いて計算したこの統計量を[latex]t_0[/latex]とすると、p値(p-value)は次のように計算されます。両側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p=P(t>|t_0|)+P(t<-|t_0|)=2P(t>|t_0|)[/latex]

 

片側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p=P(t>|t_0|)[/latex]

 

となります。このp値(p-value)がはじめに設定した有意水準より小さければ帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されることになります。