標本平均の差の標本分布(母分散が未知かつ等しいとはわからない場合)

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正規分布に従う母集団(正規母集団)が2つあったとします。この2つの母集団からそれぞれ独立に標本を取り出した時、それらの標本平均の差の標本分布(母分散が未知かつ等しいとはわからない場合)が従う標本分布を解説します。この標本平均の差の標本分布は、区間推定や仮説検定などに用いられます。

これまで、標本平均の差の標本分布は、

(1)母分散が既知の場合
(2)母分散が未知かつ等しい場合

を扱ってきましたが、今回はこれらを踏まえた上で一番難しい

(3)母分散が未知かつ等しいとはわからない場合

を解説したいと思います。

今回の(3)の場合も(2)の場合と同様に、(1)の母分散が既知の場合を出発点とすると理解しやすいです。そこで、まず(1)の母分散が既知の場合を復習してから、(3)母分散が未知かつ等しいとはわからない場合を解説したいと思います。

標本平均の差の標本分布(母分散が既知の場合)の復習

母平均\mu_1、母分散\sigma_1^2と母平均\mu_2、母分散\sigma_2^2の2つの正規母集団(母集団が正規分布に従う。)から、それぞれn個とm個の標本X_1,X_2,\cdots,X_nY_1,Y_2,\cdots,Y_nを取り出したとすると、それぞれの標本平均\bar{X}\bar{Y}は次のようになります。

\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\times(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n) \displaystyle \bar{Y} = \frac{1}{m}\times \sum_{i=1}^m Y_i = \frac{1}{m}\times(Y_1 + Y_2 + Y_3 + \cdots + Y_m)

 

この2つの標本平均の差\bar{X}-\bar{Y}を標準化をした標準化変数Z

 

\displaystyle Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}

 

は標準正規分布N(0,1)に従うことが知られています。ところが、今回の(3)母分散が未知かつ等しいとはわからない場合は、この式の右辺にある母分散\sigma_1^2と母分散\sigma_2^2がわかりません。よって残念ながら母分散が未知の場合はこの式は使えません。

しかし、実はこの式で、この2つの母分散\sigma_1^2\sigma_2^2を、標本分散で置き換えると上手くいきます。これについて次で説明します。

 

標本平均の差の標本分布(母分散が未知かつ等しいとはわからない場合)

前式だと、2つの母集団に母分散\sigma_1^2、母分散\sigma_2^2が未知なので、(3)母分散が未知かつ等しいとはわからない場合には使えません。そこで、この2つの母分散をそれぞれの母集団の標本から計算した標本分散s_1^2、母分散s^2でそれぞれ置き換えます。

 

\displaystyle t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{s_1^2/n+s_2^2/m}}

 

すると、この分布tは近似的に自由度が

 

\displaystyle v=\frac{(\frac{s_1^2}{n}+\frac{s_2^2}{m})^2}{\frac{(s_1^2/n)^2}{n-1}+\frac{(s_2^2/n)^2}{m-1}}

 

のt分布に従うことが知られています。(ウェルチの近似法)

 

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