標本空間、事象とは何か?

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確率の基本的な概念である標本空間事象について解説したいと思います。標本空間とは、何かをした時に(例えばサイコロを振る)起こり得る全ての場合を要素とした集合です。サイコロを振る場合だと標本空間は「1の目が出る」、「2の目が出る」から「6の目が出る」までの6つの要素から成り立っています。

これから詳しく述べますが、確率概念は数学用語で記述されているので、とっつきにくい印象があります。ただ、数学用語では難しく感じるかもしれませんが、標本空間も事象の概念も、日常用語に置き換えれば、実はたいしたことを言っているわけではありません。サイコロを振るという確率的な行為を念頭におけば簡単です。

 

1、標本空間 (Sample space)とは何か?

試行(実験)の結果、起こり得るすべての場合を要素とした集合を標本空間と言います。

起こり得るすべての場合を、\omega_i~(i=1,2,3,\cdots,n)とするとき、標本空間を

\displaystyle \Omega = \{ \omega;\omega=(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n)\}

 

と書きます。これが、標本空間の数学的な定義ですが、一個のサイコロを振るという行為を例にすると、以下のようになります。

標本空間の例

1回のサイコロ投げの標本空間は

\displaystyle \Omega =\{ 1,2,3,4,5,6 \}

 

です。

サイコロの目は1から6までしかありませんので、起こり得る可能性は、1,2,3,4,5,6しかありませんので、上記のようになります。数式で見ると難しく感じますが、具体的な例で考えれば簡単ですね。

 

2、事象(event)

標本空間の部分集合を事象(event)と言います。標本空間の要素全体の事象\Omega全事象(whole event)といい、標本空間の要素を含まない事象は空事象(null event)といい\phiと表します。

これが、数学的な事象の定義です。さっそく、具体例で見てみましょう。

事象の例

サイコロを一回投げて、偶数がでる事象A

\displaystyle A=\{ 2,4,6 \}

 

です。

 

サイコロを振ったとき、出る目は1から6までですが、そのうち偶数は2,4,6なので、上記のようになります。

サイコロ1回投げた場合、他の事象の例としては、「奇数が出る」「3以下がでる」「5以上がでる」「2または5がでる」など、すべて事象の例になります。

サイコロを一かい振った時の、全事象は\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6 \}です。要するにすべての場合ということです。

また、空事象は、概念的にはわかりくいですが、要するに「空っぽ」ということで、それは起こりないということです。

事象の例2

サイコロを2回投げて、合計して9以上がでる事象B

\displaystyle B=\{ (6,3),(5,4),(4,5),(3,6),(6,4),(5,5),(4,6),(6,5),(5,6),(6,6) \}

で要素数は10個あります。

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