確率変数と確率分布

確率の基本的な概念である確率変数と確率分布を解説します。

確率変数 (random variable)と確率分布(probability distribution)

確率変数[latex]X[/latex]とは、標本空間[latex]\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}[/latex]の各要素[latex]\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n[/latex]に値をとり、さらにそれぞれの要素に確率が付与されている変数です。(その意味では、確率変数は標本空間から確率への関数ともいえます。)

確率変数[latex]X[/latex]が[latex]x[/latex]という値をとる確率を[latex]P(X=x)[/latex]と書き、またそれを単に[latex]p(x)[/latex]と表したりします。

 

[latex size=2]\displaystyle P(X=x)=p(x)[/latex]

 

なので、[latex]p(x)[/latex]は、確率変数[latex]X[/latex]が[latex]x[/latex]という値をとる確率を表します。この[latex]p(x)[/latex]を確率分布(probability distribution)といいます。

なんか小難しく書いてありますが、これが確率変数と確率分布の数学的な定義です。要するに、確率変数とは、起こり得るケースとそれが起こる確率がセットになったとものと思えばよいです。これを数学の式では、上記の式のように書くのですね。では、簡単な例を見てみましょう。

確率分布表

上記の確率分布を下の表のようにかいたものを確率分布表といいます。

[latex]x[/latex] [latex]\omega_1[/latex] [latex]\omega_2[/latex] [latex]\omega_3[/latex] [latex]\omega_4[/latex] [latex]\omega_5[/latex] [latex]\omega_6[/latex]
[latex]p(x)[/latex] [latex]p(\omega_1)[/latex] [latex]p(\omega_2)[/latex] [latex]p(\omega_3)[/latex] [latex]p(\omega_4)[/latex] [latex]p(\omega_5)[/latex] [latex]p(\omega_6)[/latex]

サイコロ1個の例

確率変数と確率分布をサイコロを例にしてみてみましょう。確率変数[latex]X[/latex]を、サイコロを一個振って出る目とする。すると、それぞれの目が出る確率は次のようになります。

[latex size=2]\displaystyle P(X=1)=\frac{1}{6}[/latex]、    [latex size=2]\displaystyle P(X=2)=\frac{1}{6}[/latex]、   [latex size=2]\displaystyle P(X=3)=\frac{1}{6}[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle P(X=4)=\frac{1}{6}[/latex]、   [latex size=2]\displaystyle P(X=5)=\frac{1}{6}[/latex]、   [latex size=2]\displaystyle P(X=6)=\frac{1}{6}[/latex]

 

サイコロの目は1から6までありますので、それぞれの目が出る確率は、6分の1ですね。上記の式はそれを表しています。もし、歪んだサイコロならば、それぞれの目が出る確率は変わってきますが、、、(^^;)

確率分布表は以下の通りになります。

x 1 2 3 4 5 6
p(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

 

サイコロ2個の例

次に、サイコロを2つ振った場合を考えてみましょう。確率変数[latex]X[/latex]を、サイコロを2個振って出る目の合計とします。この場合、出る目の合計の可能性は2から12までです。この確率分布[latex]p(x)[/latex]を表にした確率分布表はすると、以下のようになります。

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

 

ここでたとえば、なぜP(6)=5/26になるのか考えてみたいと思います。P(6)というのは、2つのサイコロを振って出た目の合計が6ということです。この可能性は、2つのサイコロの目を並べて描くと、(1,5)か(2,4)か(3,3)か(4,2)か(5,1)の5通りしかありません。一方、2つのサイコロの目の出方は6×6の36通りあります。よって、2つのサイコロの出た目の合計が6なる確率は5/36となるわけです(^^)