確率の定義・基本的性質

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サイコロ

確率の定義を説明したいと思います。数学的にしっかりと確率の概念を定義するのは大変ですが、応用する際に、それほど役に立つ訳ではありません。下記のような古典的な確率の定義で応用するにはとりあえず十分でしょう。

確率の定義

標本空間\Omega = \{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}の各要素が\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_nが、同様の確からしさで起こるとすれば、事象Aの確率は、事象Aの要素の数(The number of element in A)を、標本空間\Omegaの要素の数(The number of element in )で割った数\Omegaで定義されます。

\displaystyle P(A)=\frac{\mbox{The number of element in } A}{\mbox{The number of element in }\Omega}

 

要するに、ある事象の場合の数を、起こりえるすべての場合の数で割ったということです。あと、ここで、注意なのは、上の定義のなかで、「同様に確からしい」という部分です。これは、数学的な定義というより、自分で「同様に確からしい」ことを直観で確認しておく必要があります。例えば、歪んだサイコロだと、1から6までの数字が出る確率は、「同様に確からしくない」ということになります(^^;)

確率の定義の例

さっそく例を見てみましょう。

(例)サイコロを一回投げて、奇数がでる事象Aが起こる確率は、1、2、3、4、5、6のうちに奇数は1、3、5の三つですので、

\displaystyle P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

 

となります。簡単な例ですね(笑)

 

(例2)サイコロを2回投げて、目の合計が9以上となる事象Aが起こる確率をもとめます。合計して9以上がでる事象Bは
 
\displaystyle B=\{ (6,3),(5,4),(4,5),(3,6),(6,4),(5,5),(4,6),(6,5),(5,6),(6,6) \}  
で要素数は10個ありますので、これが起こる確率は
 
\displaystyle P(A)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}

 

となります。

 

確率の基本的な性質

確率の基本的な性質として、次の3つがあります。

1) \displaystyle P(\phi)=0

空事象\phiの起こる確率はゼロを表します。当然といえば当然ですね。

 

2) \displaystyle 0\le P(A) \le 1

確率のとり得る範囲は0から1までです。

 

3) \displaystyle P(A^c)=1-P(A)

何かが起こる確率は、1から、その何かが起こらない確率を引いたものと同じということです。この余事象A^cに関する性質は、実際の確率の計算でよく使います。注目しておくと良いと思います。

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