確率の加法定理

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確率の加法定理について説明したいと思います。二つの事象に関わる確率の問題によく使われます。

加法定理 (addition theorem)

任意の事象Aと事象Bに対して、次の式が成立する。これを加法定理 (addition theorem)という。

\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

 

この定理が成立するすることは、ペン図を用いれば、すぐに証明することができます。この定理は実際の計算によく用いられるので、注目しておくとよいでしょう。

和事象

3事象以上のときの加法定理 (addition theorem)

加法定理を3事象以上に拡張することは難しくないですが、実際上、一般的な式を用いることは少ないでしょう。3つの事象の場合のみ下記に記します。

任意の事象A、事象Bと事象Cにたいして、

\displaystyle P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)

 

これの証明も、ペン図を書けば一目瞭然です。円を三つ書いてちょっと考えてみるのも悪くないでしょう。


3つの事象の加法定理

 

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