正規分布

確率分布にはいろいろな種類があるが、そのなかでも、正規分布はもっとも重要なものです。理由は、どのような確率分布でも、その標本平均は正規分布に従うからです。(中心極限定理)

正規分布の定義

確率密度関数は次のように与えられる時、その確率変数は正規分布に従うと言います。

[latex size=2]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \Bigl( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr)[/latex]

 

ここで、[latex] \mu[/latex]は平均で、[latex] \sigma [/latex]は標準偏差となります。

下図は、正規分布の確率密度関数で、平均[latex] \mu=170 [/latex] で、標準偏差[latex] \sigma=6 [/latex] の場合の例です。(男性の身長の分布をイメージしています。)

正規分布0001

平均[latex] \mu=170 [/latex]㎝のところに、ピークがあって、山の中腹あたりの幅がおよそ標準偏差[latex] \sigma=6 [/latex] ㎝位になっていることが、図から見て取れると思います。

正規分布(標準偏差5cm)正規分布(標準偏差10cm)

標準正規分布

正規分布で期待値[latex] \mu=0 [/latex] で、標準偏差[latex] \sigma=1 [/latex]としたものを「標準正規分布」といいます。

確率密度関数は次のように与えられる時、その確率変数は正規分布に従うと言います。

[latex size=2]f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Bigl( -\frac{x^2}{2}\Bigr)[/latex]

 

正規分布の期待値と分散

念のために、期待値Eと分散Vを計算すると、以下の通りになります。

[latex size=2] E=\int_{-\infty}^{\infty}x p(x) dx=\mu [/latex]

 

また、

[latex size=2] V=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2 p(x)dx=\sigma^2 [/latex]

 

です。

 

正規分布の累積分布関数

[latex size=2] F(x)=\int_{\infty}^{x}p(x)dx[/latex]

*このページの動画解説もしています。

 

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