正規分布

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確率分布にはいろいろな種類があるが、そのなかでも、正規分布はもっとも重要なものです。理由は、どのような確率分布でも、その標本平均は正規分布に従うからです。(中心極限定理)

正規分布の定義

確率密度関数は次のように与えられる時、その確率変数は正規分布に従うと言います。

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp \Bigl( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr)

 

ここで、 \muは平均で、 \sigma は標準偏差となります。

下図は、正規分布の確率密度関数で、平均 \mu=170 で、標準偏差 \sigma=6 の場合の例です。(男性の身長の分布をイメージしています。)

正規分布0001

平均 \mu=170 ㎝のところに、ピークがあって、山の中腹あたりの幅がおよそ標準偏差 \sigma=6 ㎝位になっていることが、図から見て取れると思います。

標準正規分布

正規分布で期待値 \mu=0 で、標準偏差 \sigma=1 としたものを「標準正規分布」といいます。

確率密度関数は次のように与えられる時、その確率変数は正規分布に従うと言います。

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Bigl( -\frac{x^2}{2}\Bigr)

 

正規分布の期待値と分散

念のために、期待値Eと分散Vを計算すると、以下の通りになります。

 E=\int_{-\infty}^{\infty}x p(x) dx=\mu

 

また、

 V=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2 p(x)dx=\sigma^2

 

です。

 

*このページの動画解説もしています。

 

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