離散確率変数とは何か?

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確率変数には2つの種類があります。一つ目は離散的な値をとる離散確率変数(discrete random variable)であり、もう一つは、連続的な値をとる連続確率変数 (continuous random variable)です。

離散確率変数の例としては、サイコロを振った時の目の数、宝くじの当選金額などです。どちらも、取りうる値としては、とびとびの数字しか表れません。たとえば、サイコロの場合であれば、取りうる値としては、1,2,3,4,5,6の6つだけです。とびとびの値ですね。また、宝くじの当選金額としては、1億円、1000万円、100万円、10万円、1万円、300円などとやっぱりとびとびの値です。

では、連続確率変数の例にはどのようなものがあるでしょうか?たとえば、ビルのエレベーターがあったとして、そこから次に降りてきた人の身長は連続的確率変数になります。男性であれば、170cm前後でしょうが、その値は164.3cmかもしれなし、174.3cmかもしれません。人の身長は連続的な値をとりますので、連続的確率変数になるわけです。

さて、まずは離散的確率変数を詳しく見ていきましょう。次のページで連続的確率変数を見ていきたいと思います。

離散確率変数 (discrete random variable)

確率変数Xが、有限個の離散的な値をとるとき、離散確率変数 (discrete random variable)という。この時、確率変数Xx_iという値をとる確率をP(X=x_i)と書き、またそれを単にp(x_i)と表したりします。

\displaystyle P(X=x_i)=p(x_i)~~(i=1,2,3,\cdots,n)

 

なんか、こんな風に数学的に書くと難しく見えますね。。。この式は、確率変数Xが値x_iをとる確率はp(x_i)であることを示しています。このp(x_i)は確率分布といいます。そして、上段の左辺のなかのPは、確率(Probability)を表しています。見慣れないうちは、不思議な感じのする式に見えますが、慣れてくるとしっくりくると思います。また、この式は日本以外の全世界で共通なので、言葉が通じなくても、数式を書けば外国人とも議論できます(笑)

そして、起こり得るすべての場合の確率を全部たすと1になるので、下の確率の保存の法則が成り立ちます。

\displaystyle \sum_{i=1}^n p(x_i)=1

 

これは確率の定義より、どんな場合でも成り立ちます。なので、何かを計算しているときチェックのためにすべての場合の確率を足して1になっているかどうかを確認するのは良いチェック方法になります。

 

累積確率分布(cumulative probability distribution function)

さて、次に累積確率分布(cumulative probability distribution function)というものを定義したいと思います。実は、連続的確率変数の場合はこの概念をよく使うのですが、離散的確率変数の場合はあまり使いません。ただ、連続的確率変数との整合性のため、念のために記しておきたいと思います。

確率変数Xが、x以下の値をとる確率F(x)を累積確率分布(cumulative probability distribution function)と言います。

\displaystyle F(x)=P(X\le x)=\sum_{y\le x} p(y)

 

離散確率変数と累積確率分布の例

サイコロを一つ転がした時の、確率変数の例を見てみましょう。確率変数Xをサイコロを一個振って出る目とすると、その確率変数がとる確率は次のようになります。

\displaystyle p(1)=P(X=1)=\frac{1}{6}、    \displaystyle p(2)=P(X=2)=\frac{1}{6}、   \displaystyle p(3)=P(X=3)=\frac{1}{6}

 

\displaystyle p(4)=P(X=4)=\frac{1}{6}、   \displaystyle p(5)=P(X=5)=\frac{1}{6}、   \displaystyle p(6)=P(X=6)=\frac{1}{6}

 
このサイコロの例で累積確率分布は次にようになります。

\displaystyle F(1)=P(X\le 1)=\frac{1}{6}、    \displaystyle F(2)=P(X\le 2)=\frac{2}{6}、   \displaystyle F(3)=P(X\le 3)=\frac{3}{6}

 
\displaystyle F(4)=P(X\le 4)=\frac{4}{6}、   \displaystyle F(5)=P(X\le 5)=\frac{5}{6}、   \displaystyle F(6)=P(X\le 6)=\frac{6}{6}

 

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