ド・モルガンの法則など事象にまつわる法則

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事象にまつわる法則として、べき等の法則、交換の法則、結合の法則、分配の法則、ド・モルガン(DeMorgan’s laws)の5つの法則があります。特に最後のド・モルガンの法則が有名で、実際にもよく使います。ペン図などを用いると、簡単にこれらの法則が成り立つことがわかります。最初の3つの法則はほぼ自明ですね。

べき等の法則

事象Aに対して、自分自身との和集合や積集合は自分自身と同じになります。

\displaystyle A\cup A=A

 

\displaystyle A\cap A=A

 

*ほぼ自明なので、あらためて気にする必要もないでしょう。

交換の法則

事象Aと事象Bに対して、その和集合と積集合は事象Aと事象Bのどちらを先に書いても同じです。和事象の方の交換の法則は以下の通りです。

\displaystyle A\cup B=B\cup A

 

この和事象の方の交換の法則が成り立つことは下図のようにペン図を書けば自明ですね。
和事象

次に積事象の交換の法則は以下の通りです。
\displaystyle A\cap B=B\cap A

こちらの積事象の交換の法則が成立することも下図のようにペン図を書けば自明です。

積事象

 

結合の法則

3つの事象ABCに対して、次の和事象の結合の法則が成り立ちます。

\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C

 

これが成り立つことは次の図を見ると明らかです。これが成立するので、上式の値を単にA\cup B\cup Cと書いたりします。

3つの事象の和集合

 

また、同様に次の積事象の結合の法則が成り立ちます。

\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C

 

これが成り立つことも次の図を見ると明らかです。これが成立するので、上式の値を単にA\cap B\cap Cと書いたりします。

3つの事象の積事象

* 事象におけるべき等、交換、結合の法則は自明でありながら、あらためて書くのは、他の数学的な対象にもべき等、交換、結合などの法則が成り立つことも多く、その対比の意味でもしっかりと書いておくのが数学文化の風習です。数学って面白いですね(^^)

分配の法則

3つの事象ABCに対して、次の分配の法則が成り立ちます。

\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

 

この式になると、それほど自明というわけではありませんが、次のようにペン図を書くとこの式が成立することがわかると思います。

事象の分配の法則

同様に上の式で\cup\capひっくり返したもう一つの分配法則も成り立ちます。

\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) この式が成立する理由も次のようにペン図を書くとわかります。

事象の分配法則2

*べき等、交換、結合の法則まではほぼ自明でしたが、事象の分配法則になるとそれほど自明というわけではないと思います。

ド・モルガン(DeMorgan’s laws)の法則

和集合(A\cup B)の補集合(A\cup B)^cに対して次の法則(ド・モルガンの法則)が成り立ちます。
\displaystyle (A\cup B)^c= A^c \cap B^c

下記のようにペン図で書けば、この法則が成立することがわかります。

ド・モルガンの法則1

積集合(A\cap B)の補集合(A\cap B)^cに対してももう一つのド・モルガンの法則が成り立ちます

\displaystyle (A\cap B)^c= A^c \cup B^c

これも、下記のようにペン図で書けば、この法則が成立することがわかります。

ド・モルガンの法則2

この中では、ド・モルガンの法則が一番よく使うと思います。(特に最初の三つは、ほとんど自明ですので、あらためて覚えるというような類のものではないでしょう。)

ド・モルガンの法則では、「否定(not)」(余集合)をとると、「かつ(And)」(\cap)と「または(Or)」(\cup)がひっくり返ると覚えておくと良いかもしれません。この辺の事情は、論理演算のnot, or, andの時と同じです。

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