条件付確率

条件付確率は、乗法の定理や事象の独立性と関連して、重要な概念です。

条件付き確率 (conditional probability)

事象[latex]B[/latex]が起きたという条件の下で、事象[latex]A[/latex]が起こる確率を、条件付確率といい、[latex]P(A|B)[/latex]と表します。
条件付確率は、次の公式で計算できます。

[latex size=2]\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}[/latex]

 
ここで、[latex]P(B)[/latex]は事象Bの起こる確率、[latex]P(A\cap B)[/latex]は事象Aと事象Bが同時に起こる確率です。

大雑把に言うと、条件付確率[latex]P(A|B)[/latex]とは、何か(事象A)が起きたとした時、そのあとに別の何か(事象B)が起こる確率は何かということです。最初に起きたことと、次に起こることが関係ある場合もあれば、関係ない場合もあります。これは事象の独立性という概念と関係があります。事象Aと事象Bが独立の時、[latex]\displaystyle P(A|B)=P(A)[/latex]となります。

条件付き確率の例

さっそく条件付き確率の例を見てみたいと思います。

(問題)ジョーカー入りのトランプ53枚から、一枚抜いたところ、ハートのカードであった。このカードが「5」である確率を求めよ。

(解答例)抜いたカードがハートである事象を[latex]B[/latex]とし、「5」である事象を[latex]A[/latex]とすると、求める条件付確率は以下のようになる。

[latex size=2]\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/53}{13/53}=\frac{1}{13}[/latex]

 

ここで、ちょっと考えてほしいのですが、ハートのカードであることが最初から分かっているので、「5」である確率は1/13でしたが、もしハートのカードであることがわからなければ、この確率は変わるでしょうか?答えはイエスで、ジョーカーが入っているので、カードがハートであることが未知であれば、「5」である確率は次の式の通りに4/53になります。

[latex size=2]\displaystyle P(A)=\frac{4}{53}[/latex]

 

このカードがハートであることが未知であるか、既知であるかによって、確率が変わるのは面白いですね。これば条件付き確率の醍醐味です。

また、この例ですが、トランプにジョーカーが入っていない場合はどうなるでしょうか?この場合は、カードがハートであることが未知である既知であるかによらずに、「ハートの5」である確率は1/13になります。