和事象、積事象のやさしい解説

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intersection of events

誰にでもわかるように初学者向けに、和事象、積事象、余事象のやさしい解説をします。2つの事象があった時、和事象とは2つの事象の少なくとも一つが起こる事象です(もちろん和事象では両方の事象が起きても構いません。)。一方、積事象は2つの事象が両方とも起こるという事象です。和事象の方が積事象より大きくて、和事象は積事象を包含しています。また、余事象は、ある事象が起こらないという事象です。さっそくこれらの概念の詳しい定義を見ていきましょう。

 

1、和事象(sum event)とは

まず和事象について説明します。数学的な定義は以下の通りです。

<和事象の定義>
事象Aと事象Bがあるとき、少なくともどちらか一方が起こる(両方起きても良い)という事象を和事象(sum event)をいい、A\cup Bとかく。

 

和事象とは、Aだけおきても良いし、Bだけ起きても良いし、AとBの両方同時に起きてもよいという事象です。論理の世界の「または」の概念に似ています。

和事象

 

和事象の例
例を見てみましょう。イコロを一回投げて、偶数がでる事象Aと3以下が出る事象Bの和事象A\cup Bは、

\displaystyle A\cup B=\{ 1,2,3,4,6 \}

 

である。偶数は、「2,4,6」で。3以下の数は「1,2,3」で、合わせると「1,2,3,4,6」です。5だけないですね(^^;)

 

2、積事象(product event)とは

次に積事象の概念を見ていきましょう。数学的な定義は以下の通りです。

<定義>
事象Aと事象Bがあるとき、両方ともが起こるという事象を積事象(product event)をいい、A\cap Bとかく。

積事象はAだけ起こってもダメで、Bだけ起こってもダメです。積事象は両方いっぺんに起こらないとダメなのです。論理の世界の「かつ」の概念に似ています。

intersection of A and B

積事象の例

例を見てみましょう。サイコロを一回投げて、偶数がでる事象Aと3以下が出る事象Bの積事象A\cap Bは、

\displaystyle A\cap B=\{ 2 \}

 

である。偶数は「2,4,6」で3以下の数は「1,2,3」です。共通に含まれているのは、「2」だけですね!

 

3、余事象 (complementary event)

最後に余事象という概念を見てみましょう。数学的な定義は以下の通りです。
 
<定義>
事象Aが起こらないという事象を余事象(complementary event)といい、A^cとかく。

 

これは、要するに「何かが起こる」ということにたいして、「何かが起こらない」というものに対応する概念です。否定の概念に似ていますね。

余事象

 

余事象の例

例を見てみましょう。サイコロを一回投げて、奇数がでる事象Aの余事象A^c

\displaystyle A^c=\{ 2,4,6 \}

 

である。奇数でなければ、偶数であるということです。簡単ですね。

 

数学は記号で物事を表しますが、それは、慣れると文章で表すより、曖昧さがなくなりわかりやすくなるからです。数学記号に初めは慣れにくいかも知れませんが、徐々になれていけば良いと思います。

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