確率分布に対して、母関数(generating function )というものを考えることにより、いろいろな計算が簡単になることがあります。
母関数(generating function )の定義
確率分布の母関数(generating function )は次の式で定義されます。
なぜこのようなものを考えるかというと、ある種の確率分布(例えばポワソン分布)に対して、この母関数が簡単な数式になる場合があり、さまざまな計算が簡単になって便利だからです。ただ、母関数がきれいな関数にならない場合(べき乗則など)は、あまりご利益はないかもしれません。
母関数(generating function )と期待値と分散
この母関数を微分することにより、期待値Eや分散Vを求めることができます。以下が、母関数と期待値Eや分散Vを結びつける公式です。
母関数が簡単な関数になる場合(ポワソン分布など)を用いると、期待値Eや分散Vなどが簡単に求めることができ便利です。