確率分布に対して、母関数（generating function ）というものを考えることにより、いろいろな計算が簡単になることがあります。
母関数（generating function ）の定義
確率分布[latex size=1]f(k)[/latex]の母関数（generating function ）は次の式で定義されます。
[latex size=2]G[x]=\sum_{k=0}^\infty f(k)x^k[/latex]
なぜこのようなものを考えるかというと、ある種の確率分布（例えばポワソン分布）に対して、この母関数が簡単な数式になる場合があり、さまざまな計算が簡単になって便利だからです。ただ、母関数がきれいな関数にならない場合（べき乗則など）は、あまりご利益はないかもしれません。
母関数（generating function ）と期待値と分散
この母関数を微分することにより、期待値Eや分散Vを求めることができます。以下が、母関数と期待値Eや分散Vを結びつける公式です。
[latex size=2]E=\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}[/latex]
[latex size=2]V=\frac{d^2G(x)}{dx^2}|_{x=1}+\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}-E^2[/latex]
母関数が簡単な関数になる場合（ポワソン分布など）を用いると、期待値Eや分散Vなどが簡単に求めることができ便利です。