母関数(Generating function)

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確率分布に対して、母関数(generating function )というものを考えることにより、いろいろな計算が簡単になることがあります。

 

母関数(generating function )の定義

確率分布f(k)の母関数(generating function )は次の式で定義されます。

 

G[x]=\sum_{k=0}^\infty f(k)x^k

 

なぜこのようなものを考えるかというと、ある種の確率分布(例えばポワソン分布)に対して、この母関数が簡単な数式になる場合があり、さまざまな計算が簡単になって便利だからです。ただ、母関数がきれいな関数にならない場合(べき乗則など)は、あまりご利益はないかもしれません。

 

母関数(generating function )と期待値と分散

この母関数を微分することにより、期待値Eや分散Vを求めることができます。以下が、母関数と期待値Eや分散Vを結びつける公式です。

E=\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}

 

V=\frac{d^2G(x)}{dx^2}|_{x=1}+\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}-E^2

 

母関数が簡単な関数になる場合(ポワソン分布など)を用いると、期待値Eや分散Vなどが簡単に求めることができ便利です。

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