母関数（Generating function）

確率分布に対して、母関数（generating function ）というものを考えることにより、いろいろな計算が簡単になることがあります。

母関数（generating function ）の定義

確率分布 $f(k)$ の母関数（generating function ）は次の式で定義されます。

$G[x]=\sum_{k=0}^\infty f(k)x^k$

なぜこのようなものを考えるかというと、ある種の確率分布（例えばポワソン分布）に対して、この母関数が簡単な数式になる場合があり、さまざまな計算が簡単になって便利だからです。ただ、母関数がきれいな関数にならない場合（べき乗則など）は、あまりご利益はないかもしれません。

この母関数を微分することにより、期待値Eや分散Vを求めることができます。以下が、母関数と期待値Eや分散Vを結びつける公式です。

$E=\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}$

$V=\frac{d^2G(x)}{dx^2}|_{x=1}+\frac{dG(x)}{dx}|_{x=1}-E^2$

母関数が簡単な関数になる場合（ポワソン分布など）を用いると、期待値Eや分散Vなどが簡単に求めることができ便利です。