標本分散の標本分布

正規分布に従う母集団から取り出された標本の分散(標本分散)の従う分布について解説します。この標本分散の標本分布は、カイ二乗分布に従うことが知られています。

標本分散

母平均[latex]\mu[/latex]、母分散[latex]\sigma^2[/latex]の正規母集団(母集団が正規分布に従う。)から、n個の標本[latex]X_1,X_2,\cdots,X_n[/latex]を得たした時、標本分散[latex]s^2[/latex]を次式で定義します。

[latex size=2]s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 [/latex]

 

ここで、[latex]\bar{X}[/latex]は、データ列[latex]X_i~(i=1,2,3,\cdots,n)[/latex]の平均です。上式の右辺で[latex]n[/latex]で割らずに[latex](n-1)[/latex]でわっているのは奇妙にみえるかも知れませんが、自由度の関係でこっちのほうがより正確であることがしられています。これを不偏分散といいます。

標本分散の標本分布はカイ二乗分布

母平均[latex]\mu[/latex]、母分散[latex]\sigma^2[/latex]の正規母集団の標本分散[latex]s^2[/latex]を次のように規格化した統計量

[latex size=2]\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}[/latex]
は、自由度(n-1)のカイ二乗分布に従います。

この式は、母分散の区間推定などに使われます。

 

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