標本平均の標本分布(母分散が未知の場合)

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母集団が正規分布に従う時に、その標本平均が従う分布(母分散が未知の場合)を解説します。

母集団が正規分布に従う時の標本平均の分布は、主に2つの場合があります。

(1)母分散が既知の場合
(2)母分散が未知の場合

(1)の場合は別ページで解説したので、今回は(2)の場合を解説します。

母分散が既知の場合の標本平均の標本分布(復習)

母分散が未知の場合の標本平均の標本分布を考える前にまず、母分散が既知の場合はどうであったかを復習したいと思います。

 

母平均\muや母分散\sigma^2の正規母集団(母集団が正規分布に従う。)から、n回の標本X_1,X_2,\cdots,X_nを得たとすると、標本平均\bar{X}

\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\times(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n)

 

となります。この標本平均\bar{X}が従う分布は、母分散が既知の場合、次のような統計量Zを考えると、この統計量は標準正規分布N(0,1)に従いました。

\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}

 

この式は、中心極限定理から簡単に導くことができて簡単で良いのですが、残念ながら母分散を知らないと使えません。これは、実際に応用をする時に問題があります。つまり、区間推定や仮設検定するときにこの母分散を知っていることは稀です。そこで、母分散が未知の時の標本平均が従う分布をしる必要があります。

 

実は、母分散が既知の場合の標本平均が従う式を少し変更するだけで、母分断が未知の場合の公式を知ることができます。次にこのことについて解説します。

標本平均の標本分布(分散が未知の場合)

母分散が未知の場合の標本平均の標本分布は次で与えられます。前式で母分散\sigma^2を標本分散s^2に置き換えることを考え、次のような統計量を考えます。

\displaystyle t=\frac{\bar{X}-\mu}{s\sqrt{n}}

 
するとこの統計量tは、自由度n-1スチューデントのt分布に従うことが知られています。これが、母分散が未知の場合の標本平均の標本分布です。

 

この式は、母分散が未知の時の母平均の区間推定仮設検定に使います。

 

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