標本平均の標本分布(母分散が既知の場合)

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正規母集団から取り出された標本の平均(標本平均)の分布(標本分布)について解説します。標本は何回も取り直すことができるので、その標本平均も色々な値ととります。よって、標本平均も確率変数と考えることができ、その分布を考えることができます。この分布を標本平均の標本分布と言います。

 

標本平均とは何か

ある母集団から、n回の観測をしてn個の標本X_1,X_2,\cdots,X_nを得たとします。標本平均\bar{X}は次で定義されます。

\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\times(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n)

 

このn個の標本は、何回も取り直すことができるので、標本平均もその度ごとに違う値を取ります。そこで、この標本平均自身も確率変数と考えることができ、その分布(標本平均の標本分布)を考えることができます。

標本平均の標本分布(分散が既知の場合)

中心極限定理によると、母平均\muや母分散\sigma^2の正規母集団(母集団が正規分布に従う。)から標本平均\bar{X}をとると、平均が\mu、分散\sigma^2/nの正規分布N(\mu,\sigma^2/n)に従うことが知られています。なので、正規母集団の標本平均\bar{X}を標準化した次の統計量Zは標準正規分布N(0,1)に従います。

\displaystyle Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}

 

この式は、母分散が既知の時の母平均の区間推定仮説検定に使われます。この式は、標本平均が母平均を中心にその周りに分布していていることを示しています。そして、そのばらつき具合が標本数nが大きくなればどんどん小さくなることを示しています。

 

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