標本相関係数の標本分布

2次元正規分布に従う確率変数の標本相関係数が従う分布について解説します。この分布は相関係数の統計的有意性を判定するのに使われます。

 

2次元正規分布に従う2つの確率変数[latex]X[/latex],[latex]Y[/latex]があるとします。[latex]X[/latex]と[latex]Y[/latex]のそれぞれに対して、母平均[latex]\mu_1[/latex]、母分散[latex]\sigma_1^2[/latex]と母平均[latex]\mu_2[/latex]、母分散[latex]\sigma_2^2[/latex]とします。また、その母相関係数を[latex]\rho[/latex]とします。

この2次元正規分布からn個のペアの標本を取り出して、その標本相関係数を[latex]r[/latex]とします。そして、次で定義されるフィッシャーのz変換(Fisher’s z-transformation)を考えます。

 
[latex size=2]\displaystyle z=\frac{1}{2}\log\frac{1+r}{1-r}[/latex]
 

すると、このzの標本分布は、標本数nが大きい時に、正規分布[latex]N(\eta,1/(n-3))[/latex]に従うことが知られています。ここで、

 
[latex size=2]\displaystyle \eta=\frac{1}{2}\log\frac{1+\rho}{1-\rho}[/latex]
 

で与えられます。

 

目次に戻る

●関連ページ

標本平均の標本分布(母分散が既知の場合)
標本平均の標本分布(母分散が未知の場合)
標本分散の標本分布
標本平均の差の標本分布(母分散が既知の場合)
標本平均の差の標本分布(母分散が未知かつ等しい場合)
標本平均の差の標本分布(母分散が未知かつ等しいとはわからない場合)
標本分散の比の標本分布
標本相関係数の標本分布