標本相関係数の標本分布

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2次元正規分布に従う確率変数の標本相関係数が従う分布について解説します。この分布は相関係数の統計的有意性を判定するのに使われます。

 

2次元正規分布に従う2つの確率変数X,Yがあるとします。XYのそれぞれに対して、母平均\mu_1、母分散\sigma_1^2と母平均\mu_2、母分散\sigma_2^2とします。また、その母相関係数を\rhoとします。

この2次元正規分布からn個のペアの標本を取り出して、その標本相関係数をrとします。そして、次で定義されるフィッシャーのz変換(Fisher’s z-transformation)を考えます。

 
\displaystyle z=\frac{1}{2}\log\frac{1+r}{1-r}  

すると、このzの標本分布は、標本数nが大きい時に、正規分布N(\eta,1/(n-3))に従うことが知られています。ここで、

 
\displaystyle \eta=\frac{1}{2}\log\frac{1+\rho}{1-\rho}  

で与えられます。

 

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