標本分散の比の標本分布

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正規分布に従う2つの母集団からの取り出した標本分散の比が従う分布を解説したいと思います。この分布はF分布と呼ばれるもので、標本分散の比の区間推定や仮設検定に用いられます。また、2つの正規母集団の標本平均の差の検定をするときに母分散が等しいかどうかで検定のやり方が違うので、その判定のために標本分散の比の標本分布(F分布)を持ちいます。

F分布

\chi^2(k)を自由度kのカイ二乗分布とします。その時、自由度(k_1,k_2)のF分布は次で定義されます。

\displaystyle F(k_1,k_2)=\frac{\chi^2(k_1)/k_1}{\chi^2(k_2)/k_2}

 

標本分散の比の標本分布

分散が\sigma_1\sigma_2の正規分布に従う2つの母集団があるとします。この母集団からそれぞれm,n個の標本を取り出した時、その標本分散s_1s_2をすると次の量はF分布に従います。

\displaystyle F(m-1,n-1)=\frac{(s_1)^2/(\sigma_1)^2}{(s_2)^2/(\sigma_2)^2}

 

母分散が等しい場合

特に母集団の分散が等しい場合は、先ほどの式は次の様になります。

\displaystyle F(m-1,n-1)=\frac{(s_1)^2}{(s_2)^2}

 

この式は、母集団の母分散が等しいかどうかの検定などのに使われます。

 

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