標本平均の差の標本分布(母分散が既知の場合)

2つの正規分布に従う母集団からそれぞれ独立に標本を取り出した時の標本平均の差が従う標本分布(母分散が既知の場合)について解説します。この標本平均の差の分布は、例えば2つの集団の間の身長差に有意差があるかどうかなどを検定するときなどに使われます。

 

2つの標本平均が従う標本分布

母平均[latex]\mu_1[/latex]、母分散[latex]\sigma_1^2[/latex]と母平均[latex]\mu_2[/latex]、母分散[latex]\sigma_2^2[/latex]の2つの正規母集団(母集団が正規分布に従う。)から、それぞれn個とm個の標本[latex]X_1,X_2,\cdots,X_n[/latex]と[latex]Y_1,Y_2,\cdots,Y_n[/latex]を得たすると、それぞれの標本平均[latex]\bar{X}[/latex]と[latex]\bar{Y}[/latex]は以下で与えられます。

[latex size=2]\displaystyle \bar{X} = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\times(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n)[/latex]

[latex size=2]\displaystyle \bar{Y} = \frac{1}{m}\times \sum_{i=1}^m Y_i = \frac{1}{m}\times(Y_1 + Y_2 + Y_3 + \cdots + Y_m)[/latex]
 
 
となります。この時、中心極限定理より[latex]\bar{X}[/latex]は、平均[latex]\mu_1[/latex]で分散[latex]\sigma_1^2/n[/latex]の正規分布[latex]N(\mu_1,\sigma_1^2/n)[/latex]に従います。また同様に、この[latex]\bar{Y}[/latex]は、平均[latex]\mu_2[/latex]で分散[latex]\sigma_2^2/m[/latex]の正規分布[latex]N(\mu_2,\sigma_2^2/m)[/latex]に従います。

標本平均の差の標本分布

この2つの標本平均の差[latex]\bar{X}-\bar{Y}[/latex]がどのような標本分布に従うかを次に説明します。この標本平均の差[latex]\bar{X}-\bar{Y}[/latex]は、平均[latex]\mu_1-\mu_2[/latex]で分散[latex]\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m[/latex]の正規分布[latex]N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m)[/latex]に従うことが知られています。ここで面白いのは平均の方は差になるのですが、分散の方は足し算になっているところです。

よって、標本平均の差[latex]\bar{X}-\bar{Y}[/latex]を標準化をした標準化変数Z

[latex size=2]\displaystyle Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}[/latex]

 

は標準正規分布[latex]N(0,1)[/latex]に従います。この式は2つの正規母集団の母平均の差の区間推定や検定などに使われます。

 

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