ポワソン分布

ポワソン分布は、起こる確率が小さい現象を長期にわたって観測したときに現れる確率分布です。二項分布で、成功確率が小さく試行回数が多い場合に、このポワソン分布に近似することができます。

さっそくポワソン分布の定義を見てみましょう。

ポワソン分布(Poisson distribution)の定義

[latex size]\lambda[/latex]をパラメーターとして、ポワソン分布の確率分布は以下で定義されます。

[latex size=2]\displaystyle p(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}[/latex]

 

このポワソン分布に対して、期待値と分散を計算をすると、ポワソン分布特有の面白い現象が見られます。

 

ポワソン分布の平均、分散、標準偏差

ポワソン分布の期待値[latex]E(X)[/latex]、分散[latex]V(X)[/latex]、標準偏差[latex]s(X)[/latex]はそれぞれ下記のとおりに計算できます。

[latex size=2]\displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^\infty xp(x) dk=\lambda[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle V(X)=\int_{-\infty}^\infty (x-E[X])^2p(x) dx=\lambda[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle s(X)=\sqrt{\lambda}[/latex]

 

ここで、注目すべきことは、ポワソン分布の期待値と分散が等しい値をとり、それがパラメーター[latex size]\lambda[/latex]に等しくなることです。

ポワソン分布の母関数

ポワソン分布の母関数(generating function )は次のように計算できます。

[latex size=2]G[x]=\sum_{k=0}^\infty p(k)x^k=e^{\lambda(x-1)}[/latex]

 

ポワソン分布の正規分布への近似

ポワソン分布は、[latex]\lambda[/latex]が十分に大きい場合、期待値[latex]\lambda[/latex]、標準偏差[latex]\sqrt{\lambda}[/latex]の正規分布[latex]N(\lambda,\lambda)[/latex]で近似できます。