力積と運動量

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力積とは、受けた力を時間で積分した量です。質点(物体)は力積を受けると運動量が変化します。この力積と運動量の間の関係は、ニュートンの運動方程式を時間で積分すると導くことができます。

運動量と力積の関係

物体(質点)の時刻t_1での速度をv_1、時刻t_2での速度をv_2とする。その間に受けた力をF(t)とすると、以下の式が成り立ちます。

\displaystyle mv_2-mv_1=\int_{t_1}^{t_2} F dt = I

 

この式の中辺にある力F(t)の時間積分を力積といい、Iで表します。

 

この式は、運動量(質量と速度の積)の変化は力積によってもたらされるとことを示しています。

 

この式は覚えるというより、ニュートンの運動方程式の時間積分から導出されるという認識を持っていれば良いと思います。(ちなみにニュートンの運動方程式の空間積分からはエネルギーに関する式が出てきます。)

 

運動量と力積の導出

ニュートンの運動方程式を時間t_1から時間t_2まで時間tに関して積分(時間積分)すると

\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} m \frac{d^2x}{dt^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}F dt

 

左辺の積分を実行すると、

\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} m \frac{d^2x}{dt^2}dt =\Bigl[m \frac{dx}{dt}\Bigr]_{t_1}^{t_2}=m\frac{dx}{dt}(t_2)-m\frac{dx}{dt}(t_1)=mv_2-mv_1

 

なので、最初の式が得られます。

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