運動量保存則(物理学)

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物理学の基本法則として、エネルギー保存則とともに重要な法則として運動量保存則というものがあります。簡単のために相互に力を及ぼしあっている2つの物体があるときの運動量保存則について解説します。

運動量保存則

2つの物体(質点)の速度を時間の関数として、それぞれv_1(t)v_2(t)とします。

\displaystyle mv_1(t)+mv_2(t)=\mbox{constant}

 

この式の意味は、2つの物体の運動量のmv_1(t)mv_2(t)の和は、時間tに依らずに一定ということです。微分の形式で上の式を書き直すと、次のように表現することもできます。

\displaystyle \frac{d}{dt}\{mv_1(t)+mv_2(t)\}=0

 

運動量保存則は、力学だけでなく、すべての物理の分野で成り立ちます。

 

運動量保存則の導出

運動量保存則は、すべての物理の分野で成立しますが、力学の範囲内で、ニュートンの運動方程式から導出してみましょう。2つの物体のニュートンの運動方程式は以下のようになります。

\displaystyle m_1 \frac{d^2x_1}{dt^2}dt=F

 

\displaystyle m_2 \frac{d^2x_2}{dt^2}dt=-F

 

作用反作用の法則のために、上の2つの方程式の右辺は大きさが同じで符号が反対になっています。この二つの方程式の足すと次のようになります。

\displaystyle m_1 \frac{d^2}{dt^2}(x_1(t)+x_2(t))dt=0

これを変形すると、以下のようになり、これを時間で積分をすると運動量保存則が成り立ちます。

\displaystyle \frac{d}{dt}\{mv_1(t)+mv_2(t)\}=0

 

 

 

 

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