対角化と基底の変換(線形代数)

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基底と線形変換の表現行列

 

線形空間Vとその基底e_iを考えます。すると線形変換f:V\to Vが、基底e_iに対して、次にように変換されるとします。

\displaystyle f(e_i)=e_j{A^j}_i

 

この時、この基底e_iに関する線形変換f:V\to Vの表現行列は、{A^i}_jとな莉ます。言い換えると、f(e_ix^i)=e_iy^iとすると、以下のようになります。

\displaystyle y^j={A^j}_ix^i

 

基底の変更と表現行列の変換

線形空間Vに、別の基底{e^\prime}_iを以下のように与えるとします。

\displaystyle {e^\prime}_i=e_j{P^j}_i

 
すると、線形変換f:V\to Vのこの別の基底{e^\prime}_iに対する表現行列Bは次で与えられます。

\displaystyle B=P^{-1}AP  

対角化と基底の変更

 
線形空間Vとその基底e_iに対して、線形変換f:V\to Vの表現行列Aが次にように対角化できるとします。
\displaystyle P^{-1}AP=\mbox{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)  
すると、
 
\displaystyle {e^\prime}_i=e_j{P^j}_i  
で定義される新しい基底{e^\prime}_iに対して、線形変換f:V\to Vは、
 
\displaystyle f(e_i)=\lambda_ie_i  
と変換されます。つまり新しい基底{e^\prime}_iは、線形変換f:V\to Vの固有ベクトルとなり、\lambda_iは固有ベクトルになります。
 

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