同時確率分布

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多変数の確率変数を扱おうとすると、多次元の確率分布という概念が必要になります。ここではます、2次元の確率分布について説明していきます。多変数の確率変数を扱う上で中心となる概念が、同時確率分布(または同時確率密度関数)です。

確率変数が離散の場合と連続の場合で、この概念の言い方が若干違いますが、本質的には同じものです。確率変数が離散の場合は「同時確率分布」といい、連続の場合は「同時確率密度関数」といいます。

離散確率分布の場合

2つの離散確率変数XYがあった時に、それぞれの確率変数がxyという値をとる確率を同時確率分布(joint probability distribution)といい、次のように書きます。

\displaystyle P(X=x, Y=y)=f(x,y)

 

この式の左辺は、確率変数XYが、それぞれxyという値をとる確率をあらわしています。それを右辺にあるf(x,y)と表します。

ここで、確率の総和は1となるので、次が成り立つことに注意します。

\displaystyle \sum_{x}\sum_{y}f(x,y)=1

 
この式は、確率の保存(規格化)を表しています。つまりすべての起こり得る場合の確率を全部足すと1になるので、それを表しています。

連続確率分布の場合

確率変数が連続の場合もほとんど同じです。ただキーワードが「確率」ではなくて「確率密度」となっているところに注意してください。

2つの連続確率変数XYがあった時に、それぞれの確率変数がx\sim x+\Delta xy\sim y+\Delta yの範囲に値をとる確率は以下で与えられます。

\displaystyle P(x\le X \le x+\Delta x,y\le Y\le y+\Delta y)=f(x,y)\Delta x\Delta y

 

ここで、f(x,y)を同時確率密度関数(joint probability density function)といいます。ここで、密度関数といっているのは、f(x,y)自身は確率ではないからです。f(x,y)dxdyに厚みdxdyをかけて初めて確率になることに注意してください。

ここで、確率の総和は1となるので、次が成り立つことに注意しましょう。

\displaystyle \int_{x}\int_{y}f(x,y)dxdy=1

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