母分散の区間推定

母分散の区間推定について解説します。

母分散の区間推定をする上で重要な定理は次で与えられます。

n個の標本の標本分散を

[latex size=2]s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i – \bar{X})^2 [/latex]

 

とした時、次の統計量

[latex size=2]\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}[/latex]

 

は、自由度(n-1)のカイ二乗分布に従います。ここで、[latex]\sigma^2[/latex]は、母集団の分散を表します。この事実から次の母分散の区間推定の公式を導けます。

 

母分散の区間推定の公式

母分散[latex]\sigma^2[/latex]を区間推定するには、次の公式を用いれば良い。信頼係数[latex]1-\alpha[/latex]を設定して、標本標準偏差 [latex]s[/latex] と標本数[latex]n[/latex] とカイ二乗分布表を用いて、母分散[latex]\sigma^2[/latex]を区間推定できる。

 

[latex size=2]\displaystyle P( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} < \sigma^2<\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)})=1-\alpha[/latex]

 

ここで、各パラメーターの意味を書いておきます。

[latex]\sigma^2[/latex] : 母分散、(これを知りたい!)

[latex]s[/latex] : 標本標準偏差、(簡単に計算可能!)

[latex]\chi^2_{\alpha}(n)[/latex] : 自由度nのカイ二乗分布で、この値より大きな値をとる確率が[latex]\alpha[/latex]となる。

[latex]n[/latex] : 標本(サンプル)の数 (当然知っている!)

[latex]P(***)=1-\alpha[/latex] : [latex]***[/latex]となる確率が、[latex]1-\alpha[/latex]ということ。