母分散の区間推定

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母分散の区間推定について解説します。

母分散の区間推定をする上で重要な定理は次で与えられます。

n個の標本の標本分散を

s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

 

とした時、次の統計量

\chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

 

は、自由度(n-1)のカイ二乗分布に従います。ここで、\sigma^2は、母集団の分散を表します。この事実から次の母分散の区間推定の公式を導けます。

 

母分散の区間推定の公式

母分散\sigma^2を区間推定するには、次の公式を用いれば良い。信頼係数1-\alphaを設定して、標本標準偏差 s と標本数n とカイ二乗分布表を用いて、母分散\sigma^2を区間推定できる。

 

\displaystyle P( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} < \sigma^2<\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)})=1-\alpha

 

ここで、各パラメーターの意味を書いておきます。

\sigma^2 : 母分散、(これを知りたい!)

s : 標本標準偏差、(簡単に計算可能!)

\chi^2_{\alpha}(n) : 自由度nのカイ二乗分布で、この値より大きな値をとる確率が\alphaとなる。

n : 標本(サンプル)の数 (当然知っている!)

P(***)=1-\alpha : ***となる確率が、1-\alphaということ。

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