Teorema Central del Límite

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El Teorema Central del Límite es, junto con la Distribucion Normal, un tema esencial en el aprendizaje de la Inferencia Estadistica.

 

Teorema Central del Límite

 

Vamos a considerar un muestra de un tamaño n correspondiente a una pobablacion que tiene de media \mu y varianza \sigma^2. Si el tamaño de la muestra n n es suficientemente grande, la distribucion de la media de las muestras \bar{X} obedece una Distribucion Normal con media \mu, y varianza \sigma^2/n.

 

Este Teorema tiene dos puntos importantes.

 

1. Aunque la poblacion no siga una Distribucion Normal, la media de las muestras sigue una Distribucion Normal. Sin embargo, si la cola distribucion de la poblacion es “fat” (por ejemplo, en una distribucion del tipo power-law or ley de potencias) y la media y/o la desviacion tipica en la poblacion es infinita, entonces el Teorema no es valido.

 

2. Si consideramos la Desviacion Tipica, la Desviacion Tipica de la media de la muestra \bar{X} es 1/\sqrt{n} de la desviacion tipica de la poblacion \sigma. Esto significa que incrementando el tamaño de la muestra n, la desviacion entre la media de la muestra \bar{X} y la poblacion media \mu disminuyen. Dicho de otro modo, incrementado el tamaño de la muestra n, la precision se incrementa.

 

Si la poblacion tiene una media o varianza infinita, el Teorema Central del Límite no es valido. En ese caso, podemos usar otro Teorema que requiere una Distribucion Estable. Conoces el caso de alguna problacion estadistica que tiene infinita media y/o varianza? Un ejemplo tipic que esta de moda ultimamente es cuando la cola de la distribucion sigue un power-law or ley de potencias. Esta distribucion tambien se llama distribucion de cola gorda or fat-tailed.

 

Consideremos el caso cuando la cola de la poblacion sigue una distribucion de power-law or ley de potencias f(k)\propto k^{-\gamma} con exponente \gamma.

(1) Cuando el exponente \gamma > 3, la poblacion media y la varianza son finitas y el Teorema Central de Limite es valido.

(2) Cuando el exponente 3> \gamma > 2, la poblacion de la media es finita, pero la varianza es infinita. En ese caso, el Teorema Central del Límite no puede aplicarse.

(3) Cuando el exponente 2> \gamma > 1, tanto la media de la poblacion como la varianza son infinitas y el Teorema Central del Límite tampoco puede aplicarse.

 

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