Distribucion de ley potencial o de Potencias (power-law)

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Una relación matematica en forma de ley de potencias or ley potencial (power-law) es aquella que puede expresarse como sigue usando un paramtro \gamma

f(k)=P(X=k)=Ck^{-\gamma}\propto k^{-\gamma}

 

y donde C es una constante de normalizacion.

Una de las caracteristicas de esta distribucion de ley de potencias (power-law) es que si se representa en un grafico donde ambos ejes estan en la escala logaritmica, la distribucion toma la forma de una funcion polinomica de grado 1 (i.e. un simple linea recta).

Hay varias puntos delicados relacionados con la constante de normalizacion, su valors media y su varianza.

Primero, consideremos la constante de normalizacion. Sea m el valors minimo de la variable k de la distribucion f(k) y M el valor maximo que toma la variable k en la distribucion f(k).

\int_m^M f(k) dk = \frac{C}{\gamma-1}\Bigl(\frac{1}{m^{\gamma-1}}-\frac{1}{M^{\gamma-1}}\Bigr)

 

Usando la condition de normalizacion de la probabilidad, el valor en la ecuacion anterior deber ser igual a 1. Aqui, debemos hacer notar que el valor M es muy importante para la normalizacion. Si \gamma es mayor que 1, entonces no es posible normalizar la funcion f(k) cuando el valor de M tiende a infinito.

Usando la ecuacion anterior, la constante de normalizacion puede ser calculada como sigue:

C = (\gamma-1)\Bigl(\frac{1}{m^{\gamma-1}}-\frac{1}{M^{\gamma-1}}\Bigr)^{-1}

 

Vamos a calcular el valor media (promedio) y la varianza. Este calculo es muy similar al del caso de la constante de normalizacion.

E[X]=\int_m^M kf(k) dk = \frac{C}{\gamma-2}\Bigl(\frac{1}{m^{\gamma-2}}-\frac{1}{M^{\gamma-2}}\Bigr)  

V[X] = \int_m^M k^2f(k) dk - (E[X])^2 \\ ~~~~~~~= \frac{C}{\gamma-3}\Bigl(\frac{1}{m^{\gamma-3}}-\frac{1}{M^{\gamma-3}}\Bigr)- (E[X])^2  

De las dos ecuaciones anteriores, podemos discutir lo siguiente. Cuando M va a infinito, se necesita ademas que \gamma tome valores por encima de 2 y 3 para obtener un valor medio finito y una varianza tambien finita (no divergente), respectivamente.

El comportamiento de la cola de la distribucion es importante para la correcta normalizacion de la distribucion asi como la existencia de valores finitos para la media y la varianza. Cuando \gamma disminuye progresivamente (i.e. se dive que la cola se hace gorda), primero la varianza diverge (se hace infinito), y despues si hacemos decrecer mas \gamma, el valor esperado (media) tambien diverge. Finalmente, el factor de normalizacion tambien diverge, y la distribucion no esta bien definida. En conclusion:

(1) Cuando el exponente es \gamma > 3 , el valor esperado (media) y la varianza son finitos (no hay problema).

(2) Cuando el exponente es3> \gamma > 2 , el valor esperado (media) es finito pero la varianza diverge.

(3) Cuando el exponente es 2> \gamma > 1 , ambos el valor esperado (media) y la varianza divergen.

(4) Cuando el exponente es 1> \gamma , la constante de normalizacion diverge y la distribucion no esta bien definida.

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