Estimación por Media de Poblaciones(En caso de que la Varianza de la poblacion no es conocida y los datos son suficientemente abundantes)

Pocket

En la seccion anterior, hemos explicado la Estimacion de Intervalos de tipo 1, que es la estimacion de la media de una propiedad de la poblacion \mu cuando la varianza de la poblacion \sigma^2 es conocida. Aunque este tipo es el mas sencillo, y se debe de introducir primero por logica, su aplicabilidad es dudosa en la mayoria de los casos. Esto es asi porque no es esperable tener informacion sobre la varianza de la poblacion \sigma^2 por adelantando. Recordemos que esta informacion corresponden as sistema y set de datos de la poblacion que es investigada y no al de la muestra.

 

La siguiente pregunta que podemos hacernos es si podemos estimar el promedio de una poblacion solo usando la informacion del muestreo de datos, excluyend toda informacion de la poblacion.

 

Por suerte, la respuesta a esta pregunta es afirmativa con la condicion de que el tamnyo de la muestra n se suficientemente grande ( n tiene mas de 30 observaciones o elementos). Cuando el tamanyo de la muestra n es suficientemente grande, podemos estimar la media de la poblacion \mu modificando ligeramente las condiciones de la estiamcion del Tipo 1.

 

La modificacion requerida es sencilla. Basicamente, lo que tenemos que hacer es reemplazar la desviacion estandar de la poblacion \sigma que aparece en la ecuacion anterior (Estimacion de tipo 1) por la desviacion tipica de la muestra s. Aqui, la desviacion estandar de la muestra s se define como la desviacion estandar de la muestra tomada de manera aleatoria de la poblacion estudiada:

s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

 

Por tanto, podemos obtener la formula para la estimacion de la media de la poblacion para el caso en el que la varianza de la poblacion es desconocida (mucho mas realista!) y el tamanyo de la muestra
es suficientemente grande:

\displaystyle P(\bar{X} - 1.96\times \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu<\bar{X}+1.96\times\frac{s}{\sqrt{n}})=0.95

 

Las avariables en la ecuacion son las siguientes:

\mu : La media de la poblacion(Esto es lo que nosotros queremos conocer!)

s : La desviacion estandar de la muestra(Esto es facil de calcular con los datos de la muestra.)

\bar{X} : La media de la muestra(Esto es facil de calcular usando la muestra.)

n : El tamanyo de la muestra(Esto tambien es conocido. )

P(w)=0.95 : Esta expresion denota que la probabilidad de que estemos en el estado w es 0.95 (95%).

 

Como puede verse en la formula, podemos computar la media de la poblacion \mu usando solamente la informacion de la muestra. Asi pues, la informacion de la poblacion en si misma no es necesaria en absoluto!.
Esta ecuacion tiene un campo de aplicacion muy elevado en diferentes contextos.

 

(Ejercicio) Supongamos que queremos conocer la media de la fuerz de apretar los manos de todos los varones de 20 anyos de un pais. Primero, debemos de escoger 100 personas de toda la poblacion inicial e investigar la fuerza de sus manos cuando apretan un objeto. Supongamos que el resultado de la media de estas 100 personas es de 40 kg y la correspondiente desviacion estandar es 5kg. Entonces, se pide estimar la media de la fuerza de apretar las manos de toda la poblacion de varones de 20 anyos con un nivel de confianza del 95%.

(Respuesta) Insertando los datos del ejercicio en la ecuacion de arriba, podemos obtener:

\displaystyle P(40 - 1.96\times \frac{5}{\sqrt{100}} < \mu<40+1.96\times\frac{5}{\sqrt{100}})=0.95

 

Despues de un calculo sencillo, tenmos:

\displaystyle P(39.02 < \mu< 40.98)=0.95

 

El resultado del calculo muestra que la media de la fuerza de las manos \mu de toda la poblacion de varones de 20 anyos esta entre 39.02(kg) < \mu< 40.98(kg) con un margen de confianza del 95%.

 

Siguiente pagina ()

 

Los comentarios están cerrados.