Estimacion de Intervalos orientado a la Media de Poblacion (Cuando la desviacion estandar de la poblacion estandar es conocida)

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La Inferencia es la tecnica de estimar o inferir una propiedad de una poblacion grande usando una muestra pequeña.

 

Usando la media de la muestra pequeña \bar{X} y la desviacion estandar de la muestra pequeña s (propiedad de la muestra) ⇒ Estimamos la media de la poblacion \mu y la desviacion estandar de la poblacion \sigma (propiedad de la poblacion)

 

Como dijimos en la pagina anterior, primero se debe entender el tipo 1, que es una estimacion de la media de la poblacion \mu, en caso de que la desviacion estandar de la poblacion \sigma es conocida.

 

Las condiciones para usar el tipo 1 no son muy realistas porque se asume que la desviacion estandar de la poblacion es conocida \sigma. Esto raramente puede ocurrir en un caso real. Principalmente, el proposito de la Inferencia Estadistica es inferir la information de una poblacion amplia calculando informacion que viene de una muestra mucho mas pequeña. Sin embargo, la desviacion estandar de la poblacion \sigma es una informacion que no pertenece a la muestra en si misma. En su lugar, es una informacion que pertenece a la poblacion. Como destacamos anteriormente, no conocemos la desviacion estandar de la poblacion \sigma desde el principio en casos reales :-) .

Por supuesto, podemos siempre en ciertos casos asumir como ciertos o hacer hipotesis sobre los valores para la desviacion estandar de la poblacion \sigma.

 

Aunque las condiciones de aplicabilidad del tipo 1 de la Inferencia Estadistica no son muy realistas, es conveniente aprender primero este tipo 1 de Inferencia basica. Despues, basado en este tipo 1, podemos entender otros tipocs de Inferencia mas complicados y con mas aplicaciones reales.

 

Los conocimientos principales necesarios para entender el caso presente (tipo 1) son la distribucion normal y el teorema central del limite. Combinando estos dos conceptos estadisticos cruciales, podemos derivar la siguiente formula para estimar la media de la poblacion con un nivel de confianza del 95%.

\displaystyle P(\bar{X} - 1.96\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu<\bar{X}+1.96\times\frac{\sigma}{\sqrt{n}})=0.95

 

Aqui explicamos el significado de cada uno de los parametros mostrados en la ecuacion anterior:

\mu : Media de la poblacion. ( Esto es lo que queremos conocer !)

\sigma : Desviacion estandar de la poblacion.(Esto es lo que ya asumimos como conociendo como en el tipo 1!))

\bar{X} : Media de la muestra (Es facil de calcular con la muestra!)

n : Tamaño de la muestra tamaño (Esto tambien es conocido, obviamente !)

P(w)=0.95 : Esta expresion denota la probabilidad de llegar al estado de w es 0.95 (95%).

 

Si observas en cuidadosamente la ecuacion anterior, nos damos cuenta de que conocemos todas las variables excepto the media de la poblacion \mu. Por tanto, si introducimos la informacion que conocemos en esa ecuacion, podemos estimar la media de la poblacion (Esto se conoce como Estimacion de Intervalos).

Veamos un ejemplo:

Vamos a estimar la media de altura de grupo (poblacion) compuesto por todos los varones de 20 años en un pais. Entonces, podemos seleccionar arbitrariamente un subgrupo de 900 varones (n) de ese grupo inicial. Este subgrupo se llama muestra (sample). Podemos tambien calcular la media de la muestra, que resulta en 170cm \bar{X}. Ademas, aunque no es muy realista en muchos casos, podemos asumir que la desviacion de la poblacion estandar es 10cm (\sigma). Entonces, usando la ecuacion anterior deberiamos ser capaces de estimar la media de altura de la poblacion (\mu) para todos los varones de 20 años en el pais con un nivel de confianza del 95%.

(Comentario: En este problema, no es muy realista, en principio, conocer la desviacion estandar de la poblacion como conocimiento previo. Sin embargo, en Japon por ejemplo, la diferencia entre la altura mas alta y la mas baja puede ser facilmente estimada en alrededor de 10cm. Por tanto, en algunos sistemas o casos donde conocemos algunas propiedades de los mismos, es razonable asumir un valor para la desviacion estandar de la poblacion, como en el caso de Japon. sin embargo, incluso en el caso de que no conocemos la desviacion estandar de la poblacion, es suficiente estimar aproximadamente un valor para la desviacion estandar de la poblacion tomando un valor mas grande del valor real. Asi, usando esta aproximacion, es al menos posible obtener una estimacion relativamente razonable de la media de la poblacion.)

Respuesta: Substiyendo todos los valores en la ecuacion.

\displaystyle \bar{X} -1.96\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=170-1.96\times\frac{10}{\sqrt{30}}=170-0.65=169.35 \displaystyle \bar{X} +1.96\times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=170+1.96\times\frac{10}{\sqrt{30}}=170+0.65=170.65

 

Por tanto,

\displaystyle P(169.35< \mu<170.65)=0.95

 

El resultado muestra que la probabilidad de que la media de altura en la poblacion (\mu) de todos los varones de 20 años en el pais esta entre los valores de 169.35cm< \mu<170.65cm es del 95%.

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Como comentario final, destaquemos que si, por ejemplo, en el pais existen un millon de varones de 20 años y escogemos una muestra de solo 900 de ellos, podemos realmente conocer la media de altura de la poblacion con un margen de error de ±0.65cm. Este, estaran de acuerdo los lectores, es un resultado impresionante !!

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