Media, Varianza, Desviacion Media

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1. Media

La Media es una de las medidas estadisticas mas frecuentes para calcular propiedades estadisticas de poblaciones o cualquier set de datos en general.

Dadas n observaciones de, por ejemplo, altura de personas x_i~(i=1,2,3,\cdots,n), la media \bar{x} se define como sigue:

\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n}\times(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n)

 

Ejemplo: Se requiere calcular la altura media de las cinco personas siguientes:

Los datos de la altura de estas cinco personas es:178,165,171,163,173 (cm)

x_1 178cm
x_2 165cm
x_3 171cm
x_4 163cm
x_5 173cm

 

Respuesta:

\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{5}\times \sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{5}\times (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5)\\~~~~=\frac{1}{5}\times (178 + 165 + 171 + 163 + 173) = 170 (cm)

 

2. Varianza

La Varianza estima la desviacion entree la media y los datos (las obervaciones de una determinada poblacion). La Varianza V[x] se define como:

\displaystyle V[x] = \frac{1}{n}\times \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\\  ~~~~~~= \frac{1}{n}\times \Bigl\{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + \cdots + (x_n-\bar{x})^2 \Bigr\}

 

Ejemplo: Se requiere calcular la Varianza usando los datos del ejemplo anterior.

Respuesta:

\displaystyle V[x] = \frac{1}{5}\times \sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2\\  ~~~~~~ = \frac{1}{5}\times \Bigl\{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + (x_3-\bar{x})^2 + (x_4-\bar{x})^2 + (x_5-\bar{x})^2 \Bigr\}\\  ~~~~~ = \frac{1}{5}\times \Bigl\{(178-170)^2 + (165-170)^2 + (171-170)^2 + (163-170)^2 + (173-170)^2 \Bigr\}\\  ~~~~~ = \frac{1}{5}\times \Bigl\{8^2 + 5^2 + 1^2 + 7^2 + 3^2 \Bigr\}\\  ~~~~~ = 29.6 ~~(\mbox{cm}^2)

 

Merece la pena hacer notar que la unidad de la Varianza (por ejemple, en el caso anterior la unidad de la Varianza es (\mbox{cm}^2)) no es la misma que la unidad de la observacion inicial, que en este caso es (cm). Debido a esta diferencia, se usa a menudo la Desviacion Estandar (o Media) que se define como sigue:

3. Desviacion Media (o Estandard)

La Desviacion Media S[x] se define como la raiz cuadrada de la Varianza V[x].

S[x]=\sqrt{V[x]}

 

Ejemplo: Se requiere calcular la Desviacion Media usando los datos del ejemplo anterior.

Respuesta:

S[x]=\sqrt{V[x]}=\sqrt{29.6}=5.4~~(\mbox{cm})

 

 


 

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