連続確率変数

Pocket

さて、連続確率変数について解説したいと思います。サイコロの目や宝くじの当選金額など取りうる値が離散的である離散的確率変数と異なり、連続的確率変数では連続的な値をとります。例としては、明日の降水量や、明日の気温などが連続確率変数になります。

連続確率変数 (continuous random variable)

さて、連続的確率変数の定義を見てみましょう。確率変数Xが、連続的な値をとるとき、連続確率変数 (continuous random variable)と言います。そして、確率変数Xx以下の値をとる確率を累積分布関数(cumulative distribution function)と言いF(x)=P(X\le x)と表します。

\displaystyle F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^x p(x)dx

 

ここで、p(x)を確率密度関数(probability distribution function)といいます。

 

確率密度関数は確率分布関数とは違います。

ここまでが、連続的確率変数に伴う各種の数学量の定義ですが、なんとも難しく書いてありますね。まずもって、最初に注意すべきなのは、確率密度関数(probability distribution function)のp(x)です。これは離散的確率変数のときの確率分布関数のように見えますが、ちょっと違います。確率密度関数のなかに、「密度」という言葉が入っていることに注意してください。連続確率変数の場合、p(x)だけでは、「確率」にはならずにあくまでも「確率密度」なのです。確率にするには、p(x)dxと横幅dxをかけてあげれば本当に「確率」になります。まとめると次のようになります。

p(x):確率密度
p(x)dx:確率

離散的確率変数の場合は、累積確率分布は付け足しみたいなものでした。しかし連続的確率変数にはこの事情があるために、このページの最初の式をみてもわかるとおり、確率分布関数p(x)を定義するのに、どうしても、累積分布関数F(x)と積分を用いる必要が出てくるのです。すこし込み入っていてややこしいですね。。。

 

全確率の和は1になります。

ここで、正規化(全確率の和が1となるということ)の条件は以下のようになります。

\displaystyle \int_{-\infty}^\infty p(x)dx=1

 

このページの2番目の式は、確率の保存を表します。すべての場合(まあ連続的確率変数の場合は無限個の場合があるのですが(笑))の確率を足すと、1になるということを法則を表しています。

数学では、有限個の足し算は、シグマ記号であらわされますが、無限個の足し算は積分であらわされます。積分に不慣れな方は、まあそんなものだと思って、なんとなくの理解で良いので、先に進んでみてください(^^)

コメントは停止中です。