二項検定

二項分布を用いた二項検定(binomial test)について解説します。試行の成功確率pでn回試行する二項分布に従う母集団に対して、その確率が[latex]p_0[/latex]に等しいかどうかの検定のやり方を説明します。例えば、コインを投げて表か裏がでる回数を数えて、そのコインが歪んでいるかどうかの検定をしたりするときに二項検定は使われます。

 

成功確率pがある値[latex]p_0[/latex]に等しいかどうかを判定するための帰無仮説[latex]H_0[/latex](証明したいことの反対のこと)と、対立仮説[latex]H_1[/latex](証明したいこと)は次のように設定します。

[latex size=2]\displaystyle H_0: p = p_0[/latex]

[latex size=2]\displaystyle H_1: p \neq p_0[/latex]
 
帰無仮説[latex]H_0[/latex]が正しいとすると、試行の成功回数Xの確率分布は次の様になります。

[latex size=2]\displaystyle P(X=x)={}_nC_xp_o^x(1-p_o)^{n-x}[/latex]
 

実際に観測された成功回数を[latex]x_0[/latex]とすると、p値は次の様に計算されます。

両側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p = 2 P(X>x_o)[/latex]
 

片側検定の場合は、

[latex size=2]\displaystyle p=P(X>x_o)[/latex]
 

となります。このp値(p-value)がはじめに設定した有意水準より小さければ帰無仮説は棄却され、対立仮説が採択されることになります。