二項分布

二項分布は、成功か失敗か、AかBか、表か裏かなどの二通りの場合しか起こらない試行(ベルヌーイ試行)を繰りかえした場合に考える確率分布です。例えば、コイントスをたくさん繰り返した時に表が出た回数とかが二項分布になります。

具体的な二項分布の定義を見ていきましょう。

二項分布(Binomial distribution)

成功か失敗かの二通りしか起こらない試行(ベルヌーイ試行)をn回繰り返した時に、成功がx回起こる確率[latex]p(x)[/latex]の分布を2項分布という。試行の成功確率をpとして、次の式で計算されます、

[latex size=2]\displaystyle p(x)={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}[/latex]

 

二項分布の平均、分散、標準偏差

二項分布に対する期待値[latex]E(X)[/latex]、分散[latex]V(X)[/latex]、標準偏差[latex]s(X)[/latex]はそれぞれ以下のように計算されます。

[latex size=2]\displaystyle E(X)=np[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle V(X)=np(1-p)[/latex]

 

[latex size=2]\displaystyle s(X)=\sqrt{np(1-p)}[/latex]

 

二項分布は、ある条件を満たした時にポワソン分布や正規分布に近似することができます。

二項分布のポワソン分布への近似

二項分布は、期待値npを一定に保ちながら、試行回数nを十分に大きく、成功確率pを小さくしていくと、期待値[latex]\lambda=np[/latex]としたポワソン分布に近似できます。

[latex size=2]\displaystyle p(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}[/latex]

 

二項分布の正規分布への近似

二項分布は、試行回数nが大きく、期待値npと分散np(1-p)も十分に大きい場合、正規分布[latex]N(np,np(1-p))[/latex]で近似できます。