微分

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まずは微分について、お話しよう。

微分とは何か?大ざっぱに言えば、「変化率」のことである。わかりやすい例を挙げると、車の運転をする人であれば、いつも見ている車の「速度」のことである。

2つの量、xとyがあって、お互いに関係しあっているとする。xが変化するとき、それにつれて、yが変化するとしよう。こういうとき、yはxの関数などという。

例えば、自動車の運転を考えてみよう。自動車は、時間とともに、その位置が変化している。つまり、自動車の位置(緯度、経度)をyとすれば、これは時間xと共に変化する。なので、位置yは時間xの関数といえる。(物理では通常、時間はtと表すことが多いが、混乱するので、数学の慣習に合わせた。)

この時、xが変化したとき、どれくらいyが変化するかを表したものが、微分である。

教科書を見れば、必ずのっているのが、次の微分の定義式である。 y=f(x) として、

 \displaystyle \frac{dy}{dx} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

 

詳しい説明は、教科書に譲るが、微分は「変化量」をとらえているという、おざっぱな感覚をもっていてほしい。たとえば、位置yを時間xで微分すると、「速度」になる。

もともと、微分の考え方は、物理学の速度の概念からきている。300年ほど前に、ニュートンとライプニッツという科学者が、速度の概念を、正確に捉えるために、微分という考え方を導入したのだ。なので、微分積分は、物理学と表裏一体で、非常に密接に関係している。

微分・積分の動画解説しています。以下のリンクからどうぞ。

微分・積分総論 Mathematics, Differential and integral calculus (outline) (movie)
微分法(1)定義
微分法(2)多項式の微分
微分法(3)関数の和・スカラー倍などの微分
微分法(4)多項式の関数のグラフ作成1
微分法(5)多項式の関数のグラフ作成2
微分法(6)多項式の関数のグラフ作成3

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